Модуль суммы двух векторов можно вычислить, использую теорему косинусов: 
, где 
— косинус угла между векторами 
и 
.
Для суммы произвольного количества векторов применима аналогичная формула, в которой членов с косинусом больше: 
Вычитание векторов
Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов: 
Модуль разности векторов
Три вектора 
, как и при сложении, образуют треугольник, и выражение для модуля разности получается аналогичным: 
Где — косинус угла между векторами и 
Отличие от формулы модуля суммы в знаке перед косинусом, при этом надо хорошо следить, какой именно угол берется.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8448 — 
| 7340 — 
или читать все.
78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов 
и 
называется вектор 
, начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора ) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.
Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке "Векторы и операции над векторами".
Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.
При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть 
и 
— векторы, 
— угол между ними, а 
— сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:
,
где 
— угол, смежный с углом . У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).
Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:
.
В случае вычитания векторов (
) происходит сложение вектора с вектором 
, противоположным вектору , то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и и и между и являются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:
косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.
Перейдём к примерам.
Пример 1. Векторы и образуют угол 
. Их длины: 
и 
. Выполнить сложение векторов и найти их сумму 
. Выполнить вычитание векторов и найти их разность 
.
Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что 
.
Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:
Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус "изначального" угла:
Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 2. Векторы и образуют угол 
. Их длины: 
и 
. Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность .
Пример 3. Даны длины векторов 
и длина их суммы 
. Найти длину их разности .
Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:
Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус "изначального" угла будет со знаком плюс.
Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус "изначального" угла:
Пример 4. Даны длины векторов 
и длина их разности 
. Найти длину их суммы .
Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус "изначального" угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:
Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между и :
Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:
Пример 5. Векторы и взаимно перпендикулярны, а их длины 
. Найти длину их суммы и и длину их разности .
Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:
Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место слелующие соотношения:
1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. 
,
2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. 
,
3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. 
?
Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:
То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.
Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:
Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).
Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:
Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти сумму двух векторов или разность двух векторов для плоских и пространственных задач.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на сложение и вычитание двух векторов и закрепить пройденый материал.
Калькулятор для сложения и вычитания двух векторов
Введите значения векторов.
Инструкция использования калькулятора для сложения и вычитания двух векторов
Ввод даных в калькулятор для сложения и вычитания двух векторов
В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора для сложения и вычитания двух векторов
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши "влево" и "вправо" на клавиатуре.
Теория. Сложение и вычитание двух векторов
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.