Читайте также:

  1. PS : ДЛЯ П-21 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕНЕДЖЕРА.
  2. А. Определение глубины заложения фундамента
  3. Аксиоматическое определение вероятности.
  4. Акции и определение их доходности.
  5. Б Определение числа свай в фундаменте и размещение их в плане
  6. Банковский менеджмент: сущность, определение
  7. Биосфера. Определение понятия. Границы биосферы. Эволюция биосферы.
  8. Вирусный гепатит В, Дельта. Этиология, клиника, прогноз, лечение. Определение ко- и суперинфекции.
  9. Вопрос 1. Определение потребности в сырье и материалах, комплектующих изделиях, полуфабрикатах
  10. Вопрос 2. Диалектико-материалистическое определение сущности жизни. Качественные особенности обмена веществ.
  11. Вопрос 2. Определение цены и объема производства чистым монополистом
  12. Вопрос № 32. Понятие и определение законности

Определение момента инерции цилиндра, если ось вращения проходит через центр масс (используются 2 цилиндра)

Проверка теоремы Штейнера

При переносе оси вращения или отдельных частей тела относительно этой оси его момент инерции изменяется. Соотношение между моментами инерции тела относительно некоторой оси вращения, проходящей через центр масс, и относительно произвольной, параллельной ей оси устанавливается с помощью теоремы Гюйгенса- Штейнера.

Рабочая формула:

mn – масса платформы (228 грамм)

R – радиус платформы (10 см)

r – радиус подвеса (4,5 см)

l – длина нити (147 см)

mц – масса 1 цилиндра (745 гр)

Дата добавления: 2014-01-04 ; Просмотров: 571 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Сколько измерений проводили.

Что такое ДАННОЕ значение??
Вы момент инерции НЕ ИЗМЕРЯЕТЕ, а считаете- у вас ВООБЩЕ- КОСВЕННЫЕ измерения
Тогда вопрос ваш вообще- НИ в какие рамки
Гуглите
Зайдель Теория ошибок

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Пилипосян С. Е.

Приведена оценка погрешностей измерений момента инерции неоднородного твердого тела , проведенных по методу регистрации периодов колебаний. В измерениях применяются двойной жесткий подвес , секундомер, линейка и угломер. Выявлены условия эксперимента, в которых погрешности измерений минимальны и не превышают 0,5%.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Пилипосян С. Е.

MEASUREMENT ERROR OF RANDOM SOL >The article contains the estimation of random solid body moment of inertia measurement error. The measurements were performed based on the method of vibration period recording. A dual hard suspension, a ruler, an angle gage and a time-interval recorder were used in measurements. The work identifies experiment conditions, which provide minimum (not exceeding 0.5%) measurement error.

Текст научной работы на тему «Погрешности измерения момента инерции произвольного твердого тела»

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Приведена оценка погрешностей измерений момента инерции неоднородного твердого тела, проведенных по методу регистрации периодов колебаний.

В измерениях применяются двойной жесткий подвес, секундомер, линейка и угломер. Выявлены условия эксперимента, в которых погрешности измерений минимальны и не превышают 0,5%.

Ключевые слова: момент инерции неоднородного твердого тела, физический маятник, двойной жесткий подвес, погрешность измерения коррелированных случайных величин, функция Н.Е. Жуковского.

Сложность геометрических форм и неоднородность выпускаемых изделий и механизмов затрудняют теоретический расчет важных характеристик этих тел — момента инерции и положения центра масс. В настоящее время успешно применяются различные методы, позволяющие измерить момент инерции и находить точку центра масс как для гигантских гидротурбин, самолетов, вагонов скоростных поездов, автомобилей так и для миниатюрных элементов часового механизма. Для каждого изделия (или его макета) применяется определенная методика и создается специальная установка, учитывающая его массу, размеры, форму и обеспечивающая минимальные погрешности в измерениях момента инерции.

В работе [1] показано, что метод регистрации периода колебаний для изделий или их макетов, обладающих радиусом инерции Я Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а=ЯX, Са=Я(Х, Да=ЯДХ, (I(а)Аа=(/(X)ДХ.

В теории функций комплексного переменного выражение 0,5 ( z+117 ), где 7=х + у -комплексное число, называют функцией Н.Е. Жуковского [3], ввиду того, что он весьма

© Пилипосян С.Е., 2012.

успешно применил эту функцию для решения многих важных практических задач. Из формулы (1) видно, что при Я = 0,125 м, когда Г.л =1 с, период колебаний можно представить в виде

То (Я, X)=^(4ПЯI Я)(X + X1) 0,5(X + Х-1) ,

Если 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

00 п, 00 2, )0 3, 00 4, 00 5, 00 6,0

‘ Яс, то ёТ01 ёа >0, а когда а Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Центральный момент инерции / в этом случае оказывается функцией двух переменных т, Я. Величина Т в этих условиях является однозначной функцией расстояния а.

Следовательно, Т и а не являются независимыми переменными.

Погрешность измерения У необходимо оценить с учетом этой связи.

Дифференцируя выражение (4) для / по а, найдем зависимость приращения / от

изменения расстояния а на Да . Если считать, что т, g, п , известные с большой точностью, константы, то получим

Г2таТ£ ёТ , mT02g

Относительное изменение значения У , если значение а изменилось на малую величину Да и, вследствие этого, значение Т изменилось на ДТ, будет:

а Т—0 + / — та V2п ёа . у

С учетом формулы (2), получим

^^ ^л/^+ХДТ — ( Х Х ) п^Я Я

То есть истинное значение / не зависит от значения а, если расстояние а и соответствующее значение периода колебаний Т измерены без погрешностей. Однако на эксперименте измерение Т и а производится независимо и с ненулевой погрешностью. Следова-

тельно, несмотря на то, что измеряемые переменные Т и а жестко связаны, тем не менее, измерения их значений с погрешностью ДТ и Да, соответственно, не зависят друг от друга.

Чтобы выяснить, связаны ли знаки их отклонений от соответствующих средних значений ( Т ± ДТ, а ± Да ) или ( Т ± ДТ, а + Да ), необходимо провести множество совместных измерений этих величин в одних и тех же условиях эксперимента и, рассчитав коэффициент корреляции, убедиться, что в обсуждаемой нами задаче для этой пары величин он имеет отрицательное значение [4, 5]

* (Т’ a Ь^ГТТТ1 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^Tg^Ji Wx-1 + X ду. | (X-1 -X)

При условии независимости погрешностей ДТ и Да, можно считать, что

Из этой формулы, следует, что когда X=a / R = 1, то есть когда значение a=R = const, относительная погрешность измерения (SJ ) т определяется только погрешностью измерения времени ДТ . Для тела с радиусом инерции R = 0,125м она принимает значение

(SJ ) — ДТ = -1,4 ДТ=1,^78ДТ=3,96-ДТ •

( c Л’ Т V п2 0 л/0,125 0 , 0 , 0

При ДТ = 0,001c, получим

Относительная погрешность, связанная с измерением массы тела, будет

Дm= —— R2Дm= . Следовательно, mR c m

Из (12) видно, что при Х=1, Ц Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ДХ= 0,000001 в интервале значений 0,05 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(5J ) »0,5% (на рис. 5 видно, что при 0,95R

^ с ‘ m, a, T с с с с

Рис. 2. Зависимость d2T0 / da2 от X

Согласно равенству (2) при X=a = 1 ^ dT = 0.

Величина —=R— меняет знак при переходе точки X=a / R = 1. dX с da с

В интервале 0 0, lim dT = 0.

Следовательно, в интервале 1 0, получаем равенство Х4 — 6Х2 — 3=0. Единственным физическим корнем этого уравнения является Х=2.5424. В этой точке d2T / dХ2 меняет знак с положительного на отрицательный (рис. 2). Величина d2T / dХ2 достигает своего минимума при некотором значении Х, после чего с ростом Х —монотонно стремится к нулю d2Т/ d)Х ——0. Чтобы найти значение Х, при котором dT / dХ принимает минимальное значение, вычислим величину (ГТ / d)).

^кз зп Ц Х4 (Х6 —15Х4 — т2—5) dХ3

cda3 " 4)1 % (Х5 + Х3 )5 / 2 .

Когда Х —^+0, то величина dъT / dХ ——да.

т г л d3Т Зп Цс 1 „

Когда Х—+да, то величина-—— —-—+0 .

Найдём значение Х, при котором = 0 .

Для этого нужно решить уравнение Х — 15Х4 — 13Х — 5=0 . После обозначения у = Х2, получим кубическое уравнение у —15у —13у—5=0.

С помощью обозначения у=х+5 приведём его к виду х3 — 88х—320=0. Решив это уравнение методом Кардана [6], получим х=10,84; у=15,84; Х=3,98.

В точке Х = 3,98 величина diT/d)) меняет свой знак с отрицательного на положительный (рис. 3).

Далее, после достижения своего максимума, с ростом Х монотонно стремится к

нулю, оставаясь положительным. Чтобы найти значение Х в точке этого максимума, продифференцируем по Х и приравняем к нулю.

^ # = 3п КХ6 +140>6 +154>4 + 1т2 + 35)

ёХ4 с ёа4 8 g ‘ ‘ ,ч7’2

00 2, 00 4,0 30 6, )0 8, 00 10 00 12

Рис. 3. Зависимость Ст / ёа от X

Л1СЛ .А ё4Т 105п К 1 Из выражения (15) видно, что когда Х ^+0, то величина-^- —-,

ёХ4 8 У g Х9 / 2

когда Х , то величина-^

Между этими асимптотическими предельными значениями функция- принимает ну-

левое значение, и при некотором значении X достигает своего минимального значения (рис. 4). Введя обозначение у = Х2, в равенство -5Х8 + 140Х6 + 154Х! +124Х2 + 35 = 0, получим

4 з 154 2 124 _ _

Решив (16), найдём значение X, при котором — достигает максимума. На рис. 1-4

приведены графики функций -,

для испытуемого тела с радиусом инер-

ции К = 0,05 м в зависимости от переменной X. Если привести эти графики для тела с радиусом инерции К =1 м (когда а=Х -1м), то эти же функции для тела с другим значением радиуса инерции Яс можно получить простым умножением на соответствующую степень Яс.

Систематическая относительная погрешность измерения 3 , связанная с немалым значением амплитуды угла отклонения физического маятника, представляется выражением / ч 3 (т, а, Т)-3 (т, а, Т) / 2ч/ 4 , , , ЧЛЧ2

(53= * ( ‘ , 7 ) ^ ‘ 0) =(1 + Х)(4(К(™(а))) -1).

С поправкой на эту систематическую погрешность для 3 получим

3 (т, а, Т) = 3 (т, а, Т)-Д3 =

с 7 7 0 / с 7 7 / с, ф

= 3с (т, а, Т )-(3с (т, а, Т ) + та2)| 1 -(—К(вт(а))

( 3с ( т, а, Т )+та2)(—К ( вт ( а ))) — та2 = 3 ( т, а, Т )(—К ( вт ( а ))

Таким образом, измеренное значение момента инерции неоднородного твердого тела относительно центральной оси, параллельной выбранному направлению АА1, можно представить в виде

3 = 3с (m, a, 70)(1 ±(53са, т) = 3 (m, ^ Т)(1^(&/.)т +(&/.)2 +(5.7.) ) =

00 2, 00 4, )0 1 6, )0 8, 00 10 00 12 00 14 00__д 16

3 (т, а, Т)=3(т, а, Т )(— К(вт (а)))

Рис. 4. Зависимость й4Т / йа* от X

В монографии Гернета М.М. и Ротобыльского В.Ф. [2] для расчета погрешности измерений обсуждаемым здесь методом приведены две формулы, требующие уточнения:

&/ =^(&/„)2 +()2 +()2 +(ы.г)2 (ср. с формулой (I8)), где

(ср. с формулой (17)).

Систематическая погрешность неточно оценена (при Х=1 она равна нулю при любом значении амплитуды угла отклонения маятника) и неправильно использована. Она использована в качестве статистической, когда ее следует использовать как поправку.

В табл. 1 приведены величины Т, £ , СТ , СТ , СТ , СТ в диапазоне 0,05 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0,500 0,7090 0,1250 -8,509E+0 8,055Е+2 -7,991Е+4 1,084Е+7

0,800 0,6421 0,1025 -1,762E+0 2,399Е+2 -1,638Е+4 1,387Е+6

0,990 0,6342 0,1000 -6,438E-2 1,307Е+2 -7,882Е+3 5,562Е+5

1,000 0,6342 0,1000 0,000E+0 1,268Е+2 -7,610Е+3 5,327Е+5

1,010 0,6342 0,1000 6,248E-2 1,231Е+2 -7,350Е+3 5,105Е+5

1,050 0,6346 0,1001 2,946E-1 1,094Е+2 -6,410Е+3 4,321Е+5

1,100 0,6356 0,1005 5,49Ш-1 9,461Е+1 -5,431Е+3 3,537Е+5

1,200 0,6395 0,1017 9,609E-1 7,135Е+1 -3,962Е+3 2,426Е+5

1,300 0,6451 0,1035 1,273E+0 5,425Е+1 -2,941Е+3 1,707Е+5

1,400 0,6521 0,1057 1,51Ш+0 4,146Е+1 -2,215Е+3 1,227Е+5

1,500 0,6601 0,1083 1,693E+0 3,177Е+1 -1,689Е+3 8,976Е+4

1,800 0,6883 0,1178 2,020E+0 1,411Е+1 -7,923Е+2 3,812Е+4

1,900 0,6985 0,1213 2,08Ш+0 1,059Е+1 -6,248Е+2 2,929Е+4

2,000 0,7090 0,1250 2,127E+0 7,800Е+0 -4956Е+2 2,271Е+4

2,200 0,7306 0,1327 2,184E+0 3,813Е+0 -3,162Е+2 1,397Е+4

2,540 0,7681 0,1467 2,212E+0 1,854Е-2 -1,511Е+2 6,496Е+3

3,000 0,8187 0,1667 2,183E+0 -2,183Е+0 -5,531Е+1 2,513Е+3

3,800 0,9039 0,2032 2,071E+0 -3,121Е+0 -4,155Е+0 5,448Е+2

3,980025 0,9224 0,2116 2,042E+0 -3,139Е+0 -7,707Е-6 3,871Е+2

4,200 0,9447 0,2219 2,008E+0 -3,119Е+0 3,468Е+0 2,524Е+2

5,300 1,0506 0,2744 1,846E+0 -2,729Е+0 8,564Е+0 6,418Е+0

5,393369 1,0592 0,2789 1,833E+0 -2,689Е+0 8,579Е+0 2,922Е-5

5,393370 1,0592 0,2789 1,833E+0 -2,689Е+0 8,579Е+0 -3,394Е-5

5,500 1,0689 0,2841 1,819E+0 -2,644Е+0 8,562Е+0 -6,126Е+0

7,000 1,1985 0,3571 1,644E+0 -2,059Е+0 6,792Е+0 -2,870Е+1

10,000 1,4252 0,5050 1,397Е+0 -1,313Е+0 3,522Е+0 -1,473Е+1

20,000 2,0080 1,0025 9,990E-1 -4,920Е-1 7,193Е-1 -1,733Е+0

50,000 3,1716 2,5010 6,338E-1 -1,265Е-1 7,557Е-2 -7,515Е-2

100,000 4,4846 5,0005 4,484E-1 -4,481Е-2 1,343Е-2 -6,705Е-3

Погрешность измерения центрального момента инерции, согласно формуле (18), будет

На рис. 5 приведен график функции (20) для трех значений радиуса инерции испытуемого тела Я = 0,05 м; Я = 0,125 м; Я = 0,5 м при фиксированных значениях

ДТ = 0,001 сек; Да = 0,001 м; (Дт) / т=0,001.

Как видно из табл. 2 и на рис. 5, момент инерции твердого тела, обладающего радиусом инерции Я = 0,125 м относительно выбранной центральной оси, можно измерить с погрешностью не хуже 0,5 %, если измерения провести в условиях, когда 0,8 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

X Т(сек) 5J;0,05 5J;0,125 5J; 0,5 Лd;0,05 Лd;0,125 Лd; 0,5

0,100 2,253 0,198 0,07921 0,0198 0,00716 0,01132 0,02264

0,200 1,617 0,096 0,03843 0,0097 0,02119 0,0335 0,067

0,300 1,352 0,0607 0,02434 0,0062 0,04204 0,06647 0,13294

0,400 1,207 0,0421 0,01694 0,0044 0,07233 0,11437 0,22874

0,500 1,121 0,0302 0,01225 0,0034 0,11753 0,18583 0,37166

0,600 1,068 0,0217 0,00896 0,0027 0,18885 0,29859 0,59719

0,700 1,034 0,0153 0,00658 0,0023 0,31258 0,49424 0,98847

0,800 1,015 0,0104 0,00495 0,0021 0,56761 0,89747 1,79493

0,900 1,006 0,0072 0,00411 0,0021 1,34817 2,13164 4,26328

1,000 1,003 0,0064 0,00412 0,0022 #ДЕЛ/0! #ДЕЛ/0! #ДЕЛ/0!

1,100 1,005 0,008 0,00477 0,0025 1,82121 2,87958 5,75917

1,200 1,011 0,0106 0,00575 0,0027 1,04066 1,64542 3,29085

1,300 1,020 0,0136 0,00686 0,003 0,78566 1,24224 2,48448

1,400 1,031 0,0165 0,00802 0,0033 0,662 1,04672 2,09344

1,500 1,044 0,0194 0,00919 0,0037 0,59083 0,93418 1,86837

1,600 1,058 0,0223 0,01036 0,004 0,54585 0,86307 1,72613

1,700 1,073 0,0251 0,01153 0,0044 0,5158 0,81555 1,6311

1,800 1,088 0,0278 0,0127 0,0047 0,49504 0,78272 1,56544

1,900 1,104 0,0305 0,01385 0,0051 0,48043 0,75963 1,51927

2,000 1,121 0,0332 0,015 0,0055 0,47011 0,74331 1,48663

2,100 1,138 0,0358 0,01614 0,0059 0,46288 0,73188 1,46375

2,200 1,155 0,0384 0,01728 0,0062 0,45793 0,72406 1,44812

2,300 1,173 0,041 0,01842 0,0066 0,45473 0,71899 1,43798

2,400 1,190 0,0436 0,01956 0,007 0,45287 0,71606 1,43211

2,500 1,207 0,0461 0,02069 0,0074 0,45208 0,7148 1,4296

2,600 1,225 0,0487 0,02183 0,0078 0,45213 0,71488 1,42976

2,700 1,242 0,0512 0,02297 0,0082 0,45286 0,71604 1,43208

2,800 1,260 0,0537 0,0241 0,0086 0,45415 0,71808 1,43615

2,900 1,277 0,0562 0,02524 0,009 0,4559 0,72084 1,44168

3,000 1,295 0,0587 0,02638 0,0095 0,45802 0,7242 1,44839

Используемый метод измерения позволяет с помощью обычного секундомера, линейки, угломера и несложной экспериментальной установки [1] измерить с высокой точностью

центральный момент инерции неоднородных твердых тел, обладающих радиусом инерции Я Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Т ( R, X) = 2^1 ( 2Rw) / £ = ^^L^, Lv=2Rw, Т = 2TJ2R / g, (L) = 2R ,

mm с о 7 V пр f min c

то есть при R = 0,125 м, Т (R, X)=yfw сек и L^= 25w м .

Удвоенное значение первой производной периода колебаний по параметру a=RX представляет собой чувствительность к используемого метода измерения величины d=a

a0 [1]. Поэтому приведены графики зависимости периода колебаний и его производных (до четвертого порядка включительно) от параметра X.

Приведены графики и таблицы погрешностей измерений для тел с радиусом инерции Я = 0,05 м; Я = 0,125 м; Яс = 0,50 м в зависимости от X (рис. 5).

Для фиксации ориентации тела относительно оси вращения в этой работе используется жёсткий двойной подвес (рис. 6). На эксперименте точка центра масс С испытуемого тела оказывается на некотором расстоянии ё от выбранного направления АА1 . Поэтому закрепляем тело в точках пересечения заданного направления АА1 с поверхностью тела с помощью винтов, имеющих конусные наконечники, далее чуть-чуть расслабляем крепёжный винт А 1, вследствие чего тело свободно вращается в гравитационном поле притяжения земли вокруг оси АА1. Таким образом, точка С всегда оказывается внизу от прямой АА1 на расстоянии ё от неё в вертикальной плоскости АА1ВВ1.

Рис. 6. Схематический вид жёсткого подвеса с опытным образцом

С помощью двух пар дополнительных крепёжных винтов, имеющих конусные заострения и симметрично расположенных по отношению к точкам А и А1, фиксируем это положение (положение 1) образца. Регистрируем расстояние а0 оси АА1 от оси вращения ВВ1. Далее выводим из равновесия систему (образец + жёсткий подвес) на определенный угол

Фтах 20° и измеряем суммарное время N »1 колебаний, регистрируя амплитудное значение угла отклонения фтахЛГ после N колебаний. Находим период её колебаний Т . Поворачивая образец на угол 180° вокруг оси АА1, закрепляем его в новом положении (положение 2) и аналогичным образом измеряем период колебаний Т .

Далее образец поворачиваем на угол 90о вокруг оси АА1 по часовой стрелке или против часовой стрелки, закрепляем его в этом положении (положение 3) и снова измеряем период колебаний Т физического маятника. Поскольку на эксперименте обычно хорошо выполняется неравенство ё Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В зависимости от конкретных значений величин Я, %, ё во время измерений возможны три варианта: 1) X2 % = % — 2ё, получим

Если 0 Т1 >тт1„ ^ Т — Т 0.

Следовательно, критерием третьего варианта будет

Наконец, если % — ё Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0,12432 (Т +Т2) / 2 м Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.Y. Alekseev

The article contains the estimation of random solid body moment of inertia measurement error. The measurements were performed based on the method of vibration period recording.

A dual hard suspension, a ruler, an angle gage and a time-interval recorder were used in measurements. The work identifies experiment conditions, which provide minimum (not exceeding 0.5%) measurement error.

Key words: heterogeneous solid body moment of inertia, physical pendulum, dual hard suspension, measurement error of correlated varieties, Joukowski function.