Запись числа в виде степени

Стандартный вид числа – это запись числа в виде произведения:

314,7 = 3,147 · 10 2

5400000000 = 5,4 · 10 9

0,00038 = 3,8 · 10 -4

Обратите внимание, что в стандартном виде число, которое умножается на 10 в какой-либо степени, всегда должно быть больше или равно единице и меньше десяти. Следовательно, если мы перепишем наши примеры так:

56000 = 56 · 10 3

314,7 = 0,3147 · 10 3

5400000000 = 540 · 10 7

0,00038 = 38 · 10 -5

то записи чисел хоть и будут выглядеть похожими на стандартный вид, но к числам в стандартном виде они не будут иметь никакого отношения.

Любое однозначное число в стандартном виде представляет собой произведение самого себя на 10 в нулевой степени:

Число 10 в стандартном виде равно произведению единицы на 10 в первой степени:

Примечание: число 0 нельзя представить в стандартном виде.

Пример. Запишите число в стандартном виде:

В задачах по физике часто приходится работать с очень большими и очень малыми величинами.

Как вести вычисления в атомной физике? Или записать радиус электрона? Если потребуется сравнить массу электрона и массу планеты Земля, как произвести вычисления с числами, которые несопоставимы друг с другом в обычном виде?

Физики и математики, столкнувшись с такими задачами, поняли, что для решения подобных задач требуется привести числа к единому стандартному виду. Так появилось понятие стандартный вид числа.

Прежде чем переходить к объяснению, как записать число в стандартном виде, нужно вспомнить определение степени. Особенно хорошо нужно помнить, чему равняется число « 10 » в различных степенях.

• 10 − 2 =
  

  1

  10 2

  =

  1

  100

  = 0,01 (более подробно об отрицательной степени можно прочитать в уроке 9 класса «Отрицательная степень»)

• 10 −1 =
  

  1

  10 1

  =

  1

  10

  = 0,1

• 10 0 = 1
• 10 1 = 10
• 10 2 = 100
• 10 3 = 1000
• …

Вспомним, что при умножении целого числа на 10, 100, 1000 и т.д. мы просто добавляли тоже количество нулей, что и в 10, 100, 1000 и т.д..

• 5 · 10 = 50
• 27 · 100 = 2 700
• 18 · 1000 = 18 000

Теперь запишем тоже самое, используя определение степени.

• 5 · 10 = 5 · 10 1 = 50
• 27 · 100 = 27 · 10 2 = 2 700
• 18 · 1000 = 18 · 10 3 = 18 000

При делении целого числа на 10, 100, 1000 и т.д. мы убирали нули.

• 13 000 : 100 =
  

  13 000

  100

  = 130

• 50 : 10 =
  

  50

  10

  = 5

Для десятичных дробей действует схожее правило умножения на 10, 100, 1000 . При умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. мы перемещаем запятую вправо на количество нулей, что и в 10, 100, 1000 и т.д.

• 5,7 · 100 = 570
• 7,013 · 10 = 70,13
• 68,3 · 1000 = 68 300

С помощью степени можно записать вычисления выше следующим образом:

• 5,7 · 100 = 5 · 10 2 = 570
• 7,013 · 10 = 5 · 10 1 = 70,13
• 68,3 · 1000 = 5 · 10 3 = 68 300

При делении на 10, 100, 1000 и т.д. перемещаем запятую влево .

• 6,7 : 10 =
  

  6,7

  10

  = 0,67

• 0,15 : 100 =
  

  0,15

  100

  = 0,0015

С помощью определения отрицательной степени можно записать вычисления выше следующим образом:

• 6,7 : 10 =
  

  6,7

  10

  = 6,7 · 10 −1 = 0,67

• 0,15 : 100 =
  

  0,15

  100

  = 0,15 · 10 −2 = 0,0015

Стандартный вид числа

Вначале обратимся к строгому математическому определению стандартного вида числа. Затем по традиции разберемся на примерах.

Любое натуральное число или конечную положительную десятичную дробь можно записать в виде:

Такая запись называется — стандартный вид числа.
При этом число « n » называют порядком числа « a ».

Из определения выше важно понять, что степень, в которой стоит « 10 », в стандартном виде числа называется порядком .

Теперь к примеру. Пусть нам дано число « 5 600 » и требуется записать его в стандартном виде.

По определению стандартного вида числа необходимо, чтобы перед запятой стояла только одна цифра от « 1 » до « 9 ».

В числе « 5 600 » первая цифра справа — « 5 ». Поставим справа от нее запятую и посчитаем, сколько знаков у нас осталось справа от запятой.

Значит, чтобы из « 5 , 600 » получить « 5600 » нам нужно умножить « 5 , 600 » на « 1000 ». Запишем полученное преобразование.

Теперь запишем « 1000 » с использованием степени.

Завершающим штрихом будет отбрасывание незначащих нулей в десятичной дроби.

Таким образом « 5 600 » в стандартном виде будет выглядеть следующим образом:

Чтобы проверить, что мы не ошиблись в вычислениях, произведем вычисления обратно. Если все выполнено корректно, мы должны получить изначальное число. Убедимся в этом.

Рассмотрим другой пример, когда нужно представить десятичную дробь в стандартном виде. Например, десятичную дробь « 0,017 ».

Согласно определению стандартного вида числа необходимо, чтобы первой цифрой перед запятой стояла только одна цифра от « 1 » до « 9 ».

В десятичной дроби « 0,017 » вначале идет « 0 ». Нам это не подходит, поэтому двигаемся слева направо, чтобы найти первую цифру отличную от « 0 ».

Это цифра « 1 ». Посчитаем сколько знаков (цифр) стояло от запятой до цифры « 1 », включая саму цифру « 1 ».

Получается два знака. Начнем записывать « 0,017 » в стандартном виде. Перенесем запятую и поставим ее справа от « 1 ».

Ответим себе на вопрос: "На что нужно умножить или разделить « 1,7 », чтобы получить изначальное число « 0,017 » ?". Напоминаем, что при делении на 10, 100, 1000 и т.д. запятая переносится Напоминаем, что при делении на 10, 100, 1000 и т.д. запятая переносится влево .

Выходит, чтобы из « 1,7 » сделать 0,017 », нужно « 1,7 разделить на « 100 » (чтобы перенести запятую на два знака влево).

Запишем это деление на « 100 », используя обыкновенную дробь.

0,017 = 1,7 : 100 = 1,7 ·

С помощью отрицательной степени запишем окончательный вид числа « 0,017 » в стандартном виде.

0,017 = 1,7 : 100 = 1,7 ·

=
1,7 · 10 −2

Примеры решения задач
на запись числа в стандартном виде

№ 237 Алимов 8 класс

(Устно) Определить порядок числа, выражающего значение физической константы:

1) масса покоя электрона
m_e = 9,1093897 · 10 −31

Напоминаем, что порядком числа, которое приведено в стандартный вид, называют степень, в которой стоит « 10 ». В данном примере « 10 » стоит в
степени « −31 ». Значит, порядком массы покоя электрона является « −31 ».

№ 238 Алимов 8 класс

Записать в стандартном виде и определить порядок числа k , выражающего физического константу:

2) постоянная Фарадея
F = 96485,309 Кл/моль;

По определению стандартного вида числа необходимо, чтобы перед запятой стояла только одна цифра от « 1 » до « 9 ».

Начнем записывать постоянную Фарадея в стандартном виде. Перенесем запятую после первой цифры отличной от нуля. Это цифра « 9 ».

Зададим себе вопрос: «На что нужно умножить « 9 , 6485309 », чтобы получить « 96485 , 309 » ?» Посчитаем количество знаков (цифр), на которое требуется перенести запятую в « 96485 , 309 », чтобы получить « 96485309 ».

Получается « 4 » знака. Значит постоянная Фарадея в стандартном виде будет выглядеть следующим образом:

Порядком числа « 9,6485309 · 10 4 » является степень, в которой стоит « 10 ». Следовательно, порядок « k = 4 ».

Начнем записывать постоянную Лошмидта в стандартном виде, т.е. как:

Рассчитаем, на какое количество знаков (цифр) требуется перенести запятую, чтобы из « 2 , 686763 » получить « 2686763 ».

Значит, чтобы получить из « 2 , 686763 » нужно изначальное число « 2686763 » умножить на « 10 6 ».

Завершим решение и запишем окончательный ответ, используя свойство «Произведение степеней».

Перейти к содержаниюЧасто при записи очень больших и малых чисел используют определенный тип записи, который позволяет эти числа записывать в более кратком и понятном виде. Обычно подобные записи используют в научных расчетах, так как с ними удобнее работать. Примеры таких записей можно посмотреть в конце страницы.

Стандартным видом положительного числа «a называют его представление в виде:

m – порядок действительного числа a.

Любое число может быть приведено к стандартному виду.

Важно!

При записи стандартного вида числа в целой части числа (до запятой) должна находиться только одна цифра. Все остальные цифры должны стоять после запятой (справа от нее).

Примечание

Нули, которые стоят в конце десятичной дроби можно удалить. Нельзя удалять нули, которые расположены не в конце десятичной дроби.

Например, нужно записать расстояние от Земли до Солнца. Оно равно 150 000 000 000 метров. В таком количестве нулей легко запутаться, особенно при расчетах. Поэтому, эту величину проще записать в виде:

Такая запись числа возможна благодаря свойствам действий над числами.

10 – это число 10, умноженное само на себя 11 раз.

Отсюда: Воспользовавшись правилом умножения десятичных дробей, получим:

В данном примере было рассмотрено очень большое число.

Диаметр молекулы воды равен 0,0000000003 м. В количестве нулей также очень легко запутаться. Поэтому эту величину записывают в виде: Такая запись числа возможна благодаря свойствам действий над числами.

None По определению десятичной дроби:

Воспользовавшись правилом умножения десятичных дробей, получим:

Такая запись чисел называется стандартным видом числа.

Go to TopЭтот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности ПринятьPrivacy & Cookies Policy

Стандартный вид числа – это запись числа в виде произведения:

С помощью целых показателей степени числа 10 можно записывать очень большие и очень маленькие числа в стандартном виде, то есть громоздкие записи заменять краткими. Рассмотрим несколько примеров записи чисел в стандартном виде:

56000 = 5,6 · 10314,7 = 3,147 · 1025400000000 = 5,4 · 1090,00038 = 3,8 · 10-4Обратите внимание, что в стандартном виде число, которое умножается на 10 в какой-либо степени, всегда должно быть больше или равно единице и меньше десяти. Следовательно, если мы перепишем наши примеры так:

56000 = 56 · 10314,7 = 0,3147 · 1035400000000 = 540 · 1070,00038 = 38 · 10-5то записи чисел хоть и будут выглядеть похожими на стандартный вид, но к числам в стандартном виде они не будут иметь никакого отношения.

Любое однозначное число в стандартном виде представляет собой произведение самого себя на 10 в нулевой степени:

Число 10 в стандартном виде равно произведению единицы на 10 в первой степени: 10 = 1 · 101Примечание: число 0 нельзя представить в стандартном виде.

Пример. Запишите число в стандартном виде:

Любое рациональное число может быть представлено в виде:

• Пример 1: Число 7984 в стандартной форме записывается как 7,984*10 , где 7,984 – мантисса а 10 – порядок.
• Пример 2 : Величины 890 и 45932, записанные в стандартной форме выглядят как: 8,9*10 и 4,5932*10 и отличаются на 2 порядка = имеют разницу в 2 порядка. Числа 7,5 и 75 различаются на порядок ( на 1 порядок) = имеют разницу в 1 порядок, что бы там в телевизоре не думали. И так далее…

• Очевидно, что при сложении и вычитании чисел записанных в стандартной форме и имеющих один порядок, достаточно сложить или вычесть мантиссы.

• Пример 3: 7,2*10 + 1,2*10= (7,2+ 1,2)*10=8,4*10

• Единственный способ корректно сложить или вычесть числа разных порядков – это выразить одно из них в нестандартной форме:

• Пример 4: 9,9*10 + 9,9*10=9,9*10 + 0,99*10= (9,9+ 0,99)*10=10,89*10=1,089*10

• Очень удобно проводить операции умножения и деления с числами, записанными в стандартной форме, пользуясь правилами действий со степенями:

• Пример 5: 4,0*10x 2,25*10=(4,0×2,25)x(10)= 9,0*10
• Пример 6: 5,0*10 /2,5*10=(5,0/2,5)x(10)= 2,0*10

И теперь, если уж Вы дочитали до этого места, самое главное – зачем это придумано: попробуйте сравнить на глаз числа 970984567234109879 и 1211121111211121112125? Впечатляет? А попробуйте их же в стандартном виде: 9,70984567234109879*10 и 1,211121111211121112125*10. Понятно, что первое на 4 порядка меньше? Понятно, что величина первого по отношению ко второму ниже, чем точность большинства расчетных моделей? Понятно, что в большинстве практических случаев первую величину вообще не следует брать в расчет, если вклад величин в процесс пропорционален? Понятно, что изменение второй величины на 10% значительно превосходит изменение первой в 3 раза? и т.д. Просто, оказывается, инженеры их жены и дети так устроены, что с этими числами очень удобно работать.

Стандартный вид числа Любая десятичная дробь может быть записана в виде a,bc… · 10k. Такие записи часто встречается в научных расчетах. Считается, что работать с ними еще удобнее, чем с обычной десятичной записью.

Сегодня мы научимся приводить к такому виду любую десятичную дробь. Заодно убедимся, что подобная запись — это уже «перебор», и никаких преимуществ в большинстве случаев она не дает.

Для начала — небольшое повторение. Как известно, десятичные дроби можно умножать не только между собой, но и на обычные целые числа (см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»).

Особый интерес представляет умножение на степени десятки. Взгляните:

Задача. Найдите значение выражения: 25,81 · 10; 0,00005 · 1000; 8,0034 · 100. Умножение выполняется по стандартной схеме, с выделением значащей части у каждого множителя. Кратко опишем эти шаги:

Для первого выражения: 25,81 · 10.

Значащие части: 25,81 → 2581 (сдвиг вправо на 2 цифры); 10 → 1 (сдвиг влево на 1 цифру);

Умножаем: 2581 · 1 = 2581;

Суммарный сдвиг: вправо на 2 − 1 = 1 цифру. Выполняем обратный сдвиг: 2581 → 258,1. Для второго выражения: 0,00005 · 1000.

Значащие части: 0,00005 → 5 (сдвиг вправо на 5 цифр); 1000 → 1 (сдвиг влево на 3 цифры);

Умножаем: 5 · 1 = 5;

Суммарный сдвиг: вправо на 5 − 3 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 5 → ,05 = 0,05. Последнее выражение: 8,0034 · 100.

Значащие части: 8,0034 → 80 034 (сдвиг вправо на 4 цифры); 100 → 1 (сдвиг влево на 2 цифры);

Умножаем: 80 034 · 1 = 80 034;

Суммарный сдвиг: вправо на 4 − 2 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 80 034 → 800,34. Давайте немного перепишем исходные примеры и сравним их с ответами:

0,00005 · 10 = 0,05;

8,0034 · 10 = 800,34.

Что происходит? Оказывается, умножение десятичной дроби на число 10 k (где k 0) равносильно сдвигу десятичной точки вправо на k разрядов. Именно вправо — ведь число увеличивается.

Аналогично, умножение на 10 −k (где k 0) равносильно делению на 10 k , т.е. сдвигу на k разрядов влево, что приводит к уменьшению числа. Взгляните на примеры:

2,97 cdot 10^9 ]" src="https://fizikinfo.ru/wp-content/uploads/2019/07/Chislo-v-standartnom-v />

Задача. Найдите значение выражения: 2,73 · 10; 25,008 : 10; 1,447 : 100; Во всех выражениях второе число — степень десятки, поэтому имеем:

2,73 · 10 = 2,73 · 10 = 27,3;

25,008 : 10 = 25,008 : 10 = 25,008 · 10 = 2,5008;

1,447 : 100 = 1,447 : 10 = 1,447 · 10 = ,01447 = 0,01447.

Отсюда следует, что одну и ту же десятичную дробь можно записать бесконечным числом способов. Например: 137,25 = 13,725 · 10 = 1,3725 · 10 = 0,13725 · 10 = …

Стандартный вид числа — это выражения вида a,bc… · 10 k , где a, b, c, … — обычные цифры, причем a ≠ 0. Число k — целое.

8,25 · 10 = 82 500;

1,075 · 10 = 1 075 000;

9,8 · 10 = 0,0000098.

Для каждого числа, записанного в стандартном виде, рядом указана соответствующая десятичная дробь.