Знаки множества и подмножества

Задачи по математике для 3 класса.

Задача 1

Задай свойством множества А и В:

Каждый ли заяц является животным? Всякое ли животное является зайцем? Какое из этих множеств является частью другого?

Решение:
B — животные
A — зайцы
Каждый заяц является животным
Не каждое животное является зайцем
Зайцы являются частью множества животные

Задача 2

Задай свойством множества, изображённые на рисунке. Какое из них является подмножеством другого? Сделай записи.

Как расположены относительно друг друга диаграммы множества и подмножества?

Решение:
а) M множество — грибы; C подмножество грибов — съедобные грибы, поэтому — C ⊂ M
б) D множество — деревья; B подмножество хвойные деревья, поэтому — B ⊂ D
в) P множество прямоугольники; K подмножество квадраты, поэтому — K ⊂ P
г) E множество прямоугольники; F множество геометрические фигуры. F ⊄ E потому что не все геометрические фигуры — прямоугольники.
Диаграмма подмножества находится внутри диаграммы множества

Задача 3

Определи по рисунку, какое из множеств является подмножеством другого:

Задача 4

Нарисуй диаграммы множеств. Запиши, какое из них является подмножеством другого.

а) С — множество учеников школы, В — множество отличников этой школы.
б) D — множество девочек класса, Е — множество всех учеников этого класса.
в) К — множество рыб, О — множество окуней.
г) N — множество натуральных чисел, М — множество чётных чисел.

Задача 5

а) Какое из множеств М = <а; b; ; ; +> и К = > является подмножеством другого множества? Докажи.
б) Нарисуй диаграмму Венна множеств М и К и отметь на ней элементы этих множеств.

Решение:
а) K ⊂ M. M — множество фигур, букв и знаков, b — пиринадлежит множеству букв, — принадлежит множеству фигур.

Задача 6

Составь задачу по картинке и реши ее:

В магазине было 5 яблок и 2 груши стоимостью 36 рублей, из них было продано 2 яблока и 2 груши за 24 рубля. Сколько стоит 1 яблоко и 1 груша.

36 – 24 =12 рублей стоит 3 яблока
12 : 3 = 4 рубля стоит 1 яблоко
4 * 2 = 8 рублей стоит 2 яблока
24 – 8 = 16 рублей стоят 2 груши
16 : 2 = 8 рублей стоит 1 груша

Задача 7

а) На одной улице 18 одноэтажных домов и 3 двухэтажных. Во сколько раз одноэтажных домов больше, чем двухэтажных?
б) В одном доме 10 квартир. Это в 5 раз меньше, чем в другом. Сколько квартир в двух домах?
в) На каждом этаже 7-этажного дома по 6 квартир, а на каждом этаже 9-этажного дома по 4 квартиры. В каком доме больше квартир и на сколько?
г) В одном доме 56 квартир, а в другом — в 7 раз меньше. На сколько квартир в первом доме больше, чем во втором?

Задача 8

91 : 7 = 13
80 : 5 = 16
64 : 4 = 16
78 : 3 = 26
(39 + 29) : 4 = 68 : 4 = 17
(60-5) : 5 = 55 : 5 = 11
63 : (3 * 7) = 63 : 21 = 3
240 : (80 : 2) = 240 : 40 = 6
19 + 17 * 3 — 46 = 19 + 51 — 46 = 70 — 46 = 24
54 — 26 + 38 — 3 =28 +38 — 3 = 66 — 3 = 63
48 : 2 + 60 : 2 = 24 + 30 = 54
(19 * 5 — 5): 30 = 90 : 30 = 3

Задача 9

а) Отметь на числовом луче двузначные числа, кратные 12:

Решение:

б) Выполни деление с остатком:

Решение:
37 : 12 = 6 (ост. 1)
50 : 12 = 4 (ост. 2)
68 : 12 = 5 (ост. 8)
75 : 12 = 6 (ост. 3)
99 : 12 = 8 (ост. 3)

Множество – совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита – от A до Z.

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N – множество натуральных чисел

Z – множество целых чисел

Элемент множества – это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈ . Запись

читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 – элемент множества Z .

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество – множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.

Подмножество

Подмножество – это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера – это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.

Рассмотрим два множества:

Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :

Запись L⊂M читается так: множество L является подмножеством множества M .

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком = .

Рассмотрим два множества:

Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств – это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩ .

Запись L∩M читается так: пересечение множеств L и M .

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪ .

Запись L∪M читается так: объединение множеств L и M .

При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:

Понятие множества – одно из основных понятий математики. Под множеством понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как единое целое. Например, можно говорить о множестве натуральных чисел, о множестве букв на данной странице, о множестве корней данного уравнения и т. п. Понятие множества принимается как исходное, первичное, т. е. несводимое к другим понятиям. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами. Обычно множества обозначаются большими печатными буквами английского алфавита, например, множество А; а его элементы маленькими прописными буквами, например, элемент а.

Запись означает, что элемент а принадлежит множеству А. Запись — наоборот, Что элемент а множеству А не принадлежит. Знак называют знаком принадлежности.

Определение 1. Два множества А и В называются равными и пишут А=В, если множества А и В содержат одни и те же элементы.

Например: <2, 4, 6>= <4, 2, 6>– равные множества.

Определение 2. Множество называется непустым, если содержит хотя бы один элемент.

Определение 3. Множество А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

В этом случае пишут , знак называют знаком включения.

Например: <2, 4,>

Рассмотрим свойства отношения включения.

рефлексивно, т.е любое множество является подмножеством самому себе.

транзитивно, т. е. для любых множеств А, В и С, если множество А является подмножеством множества В и множество В является подмножеством множества С, то из этого следует, что множество А является подмножеством множества С.

антисимметрично, т. е. для любых множеств А и В следует, что, если множество А является подмножеством множества В и в то же время множество В является подмножеством множества А, то множества А и В равны.

Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустыммножеством.

Пустое множество обозначают

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Определение 5. Множество всех подмножеств множества A называется множеством-степенью и обозначается P(A).

В дальнейшем будем пользоваться следующим утверждением:

Утверждение 1. Число всех подмножеств конечного множества равно 2n.

Пример. Выделим все подмножества множества А =<2, 4, 6>.

Р(А)=<2, 4, 6>, <2, 4>, <4, 6>, <2, 6>, <2>, <4 >, <6>, — всего 23=8.

Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат одному из множеств А или В.

Для обозначения объединения множеств используют знак .

Пример. , ,

Пересечением множеств А и В называются такое множество, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Для обозначения пересечения множеств используют знак .

Пример. , ,

Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого являются элементами множества А, не принадлежащие множеству В.

Для обозначения разности множеств используют знак /.

Пример. , ,

Перечислим основные свойства операций над множествами:

1) идемпотентность объединения

2) идемпотентность пересечения

3) коммутативность объединения

4) коммутативность пересечения

5) ассоциативность объединения

6) ассоциативность пересечения

7) дистрибутивность объединения относительно пересечения

8) дистрибутивность пересечения относительно объединения

Универсальное множество. Дополнение множества.

Во многих приложениях теории множеств рассматриваются только такие множества, которые содержатся в некотором фиксированном множестве. Например, в геометрии мы имеем дело с множеством точек данного пространства, в арифметике – с множеством целых чисел. Такое фиксированное множество называют универсальным.Для его обозначения используют букву U.

Определение 6. Множество U/А называется дополнением множества А и обозначается (или ).

Дополнение U/ множества обозначается

Справедливы следующие формулы:

— закон инволюции.

Теорема. Если множество А является подмножеством множества В, то дополнение множества А будет являться подмножеством дополнения множества В.

Пусть множество А является подмножеством множества В, , необходимо доказать, что для каждого элемента х из универсального множества U выполняется следующее условие: если элемент х принадлежит множеству , то он принадлежит и множеству .

Действительно, если х принадлежит множеству , то он не принадлежит множеству В, а т. к. множество А является подмножеством множества В, то элемент х не принадлежит и множеству А, а это означает его принадлежность множеству .