Гипотенуза в равнобедренном треугольнике формула

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый внутренний угол равен 45°:

α = β = 45 ∘ = π 4 , <displaystyle alpha =eta =45^<circ >=<frac <pi ><4>>!,,>

третий внутренний угол — прямой:

γ = 180 ∘ − 2 α = 90 ∘ = π 2 , <displaystyle gamma =180^<circ >-2alpha =90^<circ >=<frac <pi ><2>>!,,>

Внутренние углы имеют соотношение 1 : 1 : 2.

Каждая боковая сторона равна:

a = b = c 2 2 , <displaystyle a=b=<frac <2>>><2>>!,,>

а основание равно:

c = a 2 , <displaystyle c=a<sqrt <2>>!,,>

стороны соотносятся как 1 : 1 : √2. Боковые стороны являются катетами, основание — гипотенузой.

Высота, опущенная на гипотенузу, равна её половине:

h c = a 2 2 = c 2 = R , <displaystyle h_=<frac <2>>><2>>=<frac <2>>=R!,,>

Содержание

Периметр [ править | править код ]

Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен

P = a + b + c = a ( 2 + 2 ) . <displaystyle P=a+b+c=a(2+<sqrt <2>>)!,.>

Площадь [ править | править код ]

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна

S = a 2 2 = c 2 4 . <displaystyle S=<frac <2>><2>>=<frac <2>><4>>!,.>

Также площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно выразить при помощи формулы Герона:

S = p ( p − a ) 2 ( p − a 2 ) , <displaystyle S=<sqrt <2>(p-a<sqrt <2>>)>>!,,>

Где p — полупериметр равнобедренного прямоугольного треугольника:

p = P 2 = a ( 1 + 2 2 ) . <displaystyle p=<frac

<2>>=aleft(1+<frac <sqrt <2>><2>>
ight)!,.>

Общие характеристики [ править | править код ]

Описанная и вписанная окружности [ править | править код ]

Равнобедренный прямоугольный треугольник, как и все треугольники, является бицентрическим. В нём:

Здесь r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, a — катеты и c — гипотенуза треугольника.

Расстояние между центрами вписанной и вписанной окружности d равен радиусу вписанной окружности r и задается уравнением Эйлера:

d 2 = R ( R − 2 r ) = a 2 2 ( 3 − 2 2 ) <displaystyle d^<2>=R(R-2r)=<frac <2>><2>>left(3-2<sqrt <2>>
ight)!,> d = r = a 2 ( 2 − 2 ) = a 1 2 ( 3 − 2 2 ) ≈ 0 , 2928932 a . <displaystyle d=r=<frac <2>>left(2-<sqrt <2>>
ight)=a<sqrt <<frac <1><2>>left(3-2<sqrt <2>>
ight)>>approx 0,2928932,a!,.>

Равнобедренный треугольник, имеющий равные описанную и вписанную окружность и одинаковые расстояния между их центрами ( d = r <displaystyle d=r,> ), имеет углы:

α = β = a r c t g ⁡ 4 − 2 2 8 2 − 11 ≈ 72 , 968751 ∘ , <displaystyle alpha =eta =operatorname <frac <4-<sqrt <2>>><<sqrt <2>><sqrt <8<sqrt <2>>-11>>>>approx 72,968751^<circ >!,,> γ = 180 ∘ − 2 α ≈ 34 , 062496 ∘ . <displaystyle gamma =180^<circ >-2alpha approx 34,062496^<circ >!,.>

Покрытие евклидовой плоскости [ править | править код ]

Прямоугольный равнобедренный треугольник является одним из трех треугольников, которые покрывают евклидову плоскость. Только равносторонними треугольниками (треугольник 60-60-60), который является правильным многоугольником, можно правильно покрыть плоскость. Третий треугольник, который неправильно покрывает плоскость, представляет собой прямоугольный треугольник 30-60-90. Эти три треугольника — треугольники Мёбиуса, что означает, что они покрывают плоскость, не перекрываясь, зеркалируя их стороны (см. Треугольная группа).

Полиформы в головоломках [ править | править код ]

Полиформы, основными фигурами которых являются равнобедренные прямоугольные треугольники, — это поляболы.

Пять равнобедренных прямоугольных треугольников вместе с одним квадратом и одним параллелограммом образуют головоломку пазл.

Треугольник

Треугольник – это фигура, состоящая из трех сторон и трех вершин. Стороны образуют три угла при трех вершинах.

Рис. 1. Треугольник

Для формулировки теорем требуется всем понятное обозначение сторон. Эти обозначения не должны быть классическими АВ или ВС, поскольку такие обозначения зависят от каждого конкретного ученика. Никто не вправе запретить решающему обозначать фигуру так, как это удобно лично ему. Например, именно по этой причине в математику было введено понятие основания треугольника. Вспомните, в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равняется биссектрисе и медиане. Формулировка четкая, понятная и простая для запоминания. Именно в этих целях и вводят дополнительные понятия.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – это особенная фигура. Она имеет свои свойства и пропорции, один из углов такого треугольника всегда известен и равен 90 градусам, к тому же имеются специфические формулы площади и признаки равенства прямоугольных треугольников.

Рис. 2. Прямоугольный треугольник

В Древней Греции прямоугольным треугольникам уделяли особое внимание. Эти фигуры были предметом изучения не только математики, но и мореходства. С помощью подобных прямоугольных треугольников греки определяли расстояния в море. А в древних Сиракузах на основе системы прямоугольных треугольников была создана система прицеливания, с помощью которой город долгое время отбивался от атак врагов.

Греки особое внимание уделяли точности формулировок и потому придумали для сторон треугольников особые названия: гипотенуза для стороны, лежащей напротив прямого угла и катеты для сторон, прилежащих к прямому углу.

Рис. 3. Гипотенуза

Если гипотенуза у равнобедренного треугольника? В общем случае, нет. В равнобедренном треугольнике есть только две боковые стороны и основание. Но если перед нами прямоугольный равнобедренный треугольник, то основание такого треугольника будет являться одновременно и гипотенузой. Найти ее можно как квадратный корень из удвоенного произведения катета – это следствие из теоремы Пифагора и равенства катетов, как боковых сторон равнобедренного треугольника.

$b=sqrt<2a>$ – где b это гипотенуза, а а – значение длины одного из катетов

Равносторонний треугольник

Стоит сказать и о равностороннем треугольнике, ведь это частный случай равнобедренного. Может ли существовать гипотенуза у равностороннего треугольника? Нет, поскольку гипотенуза возможна только в прямоугольном треугольнике, а в равностороннем треугольнике все углы всегда составляют 60 градусов, поэтому такой вариант невозможен вовсе.

Что мы узнали?

Мы узнали, зачем требуется большое количество определений. Поговорили о том, как получаются точные формулировки в геометрии, вспомнили древнегреческих ученых и рассказали, для чего они использовали знания о прямоугольных треугольниках. Выделили случаи, когда у равнобедренного треугольника может быть гипотенуза, а когда ее существование невозможно. А также поговорили о возможности существования гипотенузы у равностороннего треугольника.