Вычислить площадь фигуры ограниченной заданными параболами

Попроси больше объяснений
Следить
Отметить нарушение

Annaadams45 25.09.2017

Ответ

Сначала приравниваем и решаем кв.уравнение, чтобы найти точки пересечения:

Найдём сначала обычный интеграл:

Далее переходим к определённому, константа сокращается.

Дальше можно дроби к красивому виду привести, но у меня уже цейтнот. Сорри.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

или .

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Найти площадь области, ограниченной эллипсом .

Из уравнения эллипса для I квадранта имеем . Отсюда по формуле получаем

Применим подстановку x = a sin t, dx = a cos t dt. Новые пределы интегрирования t = α и t = β определяются из уравнений 0 = a sin t, a = a sin t. Можно положить α = 0 и β = π/2.

Находим одну четвертую искомой площади

Найдем точки пересечения линий y = —x 2 + x + 4, y = —x + 1, приравнивая ординаты линий: —x 2 + x + 4 = —x + 1 или x 2 — 2x — 3 = 0. Находим корни x₁ = -1, x₂ = 3 и соответствующие им ординаты y₁ = 2, y₂ = -2.

По формуле площади фигуры получаем

Решая систему уравнений

находим абсциссы точек пересечения x₁ = -2 и x₂ = 1.

Полагая y₂ = 3 — x и y₁ = x 2 + 1, на основании формулы получаем

В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(φ) и двумя полярными радиусами φ₁ = ʅ и φ₂ = ʆ, выразится интегралом

В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади

Следовательно, вся площадь равна S = a 2 .

Запишем уравнение астроиды в виде

Отсюда получаем параметрические уравнения астроиды

Ввиду симметрии кривой (*) достаточно найти одну четвертую часть длины дуги L, соответствующую изменению параметра t от 0 до π/2.

Интегрируя полученное выражение в пределах от 0 до π/2, получаем

Решим систему уравнений

и получим x₁ = 0, x₂ = 1, y₁ = 0, y₂ = 1, откуда точки пересечения кривых O(0; 0), B(1; 1). Как видно на рисунке, искомый объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций OCBA и ODBA:

а) На отрезке [0, π] функция sin x сохраняет знак, и поэтому по формуле , полагая y = sin x, находим

б) На отрезке [0, 2π], функция sin x меняет знак. Для корректного решения задачи, необходимо отрезок [0, 2π] разделить на два [0, π] и [π, 2π], в каждом из которых функция сохраняет знак.

По правилу знаков, на отрезке [π, 2π] площадь берется со знаком минус.

В итоге, искомая площадь равна

Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса вокруг большой оси a.

Учитывая, что эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси Oxплощади OAB, равной одной четверти площади эллипса, и полученный результат удвоить.

Обозначим объем тела вращения через V_x; тогда на основании формулы имеем , где 0 и a — абсциссы точек B и A. Из уравнения эллипса находим . Отсюда

Таким образом, искомый объем равен . (При вращении эллипса вокруг малой оси b, объем тела равен )

Сначала найдем координаты точек пересечения парабол, чтобы определить отрезок интегрирования. Преобразуя исходные уравнения, получаем и . Приравнивая эти значения, получим или x 4 — 8p 3 x = 0.