Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

, (4.14)

в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).

Для момента инерции можно написать IA = kml 2 , где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера IA = IC + m(l/2) 2 . Величину IC можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l/2, масса m/2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, IC = km(l/2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим

,

откуда k = 1/3. В результате находим

(4.15)

(4.16)

Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен

где R – радиус кольца. Ввиду симметрии IX = IУ.

Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2prdr. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dIz = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

(4.18)

Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm. Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.

Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей

Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.

Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии IX = IY = IZ = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра

. (4.20)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9465 — | 7448 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Задачи для самостоятельного решения.

Найти момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину и образующей угол a со стержнем. Масса стержня m, его длина l.

Вывести формулу для вычисления момента инерции тонкого обруча относительно оси, проходящей через центр обруча перпендикулярно его плоскости.

Доказать, что для любого плоского тела Iz = Ix + Iy, где X, Y и Z – взаимно перпендикулярные оси, причем оси X и Y лежат в плоскости тела, а ось Z перпендикулярна телу. Ix, Iy и Iz – моменты инерции относительно осей X, Y и Z соответственно.

Вывести формулу для вычисления момента инерции однородного диска относительно оси, проходящей через его центр и направленной перпендикулярно плоскости диска. Масса диска m, радиус R.

Вычислить момент инерции тонкого однородного диска относительно оси, проходящей через центр диска и лежащей в его плоскости. Масса диска m = 2 кг, радиус диска R = 0,4 м.

Показать, что момент инерции двухатомной молекулы относительно оси, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно ее оси можно вычислять по формуле Iz = m l2,

где m = – “приведенная масса молекулы”, а l – расстояние между атомами (“длина молекулы”).

Вычислить момент инерции и момент импульса Земного шара. Воспользоваться справочными данными о параметрах Земного шара.

* Вывести формулу для вычисления момента инерции однородного сплошного конуса. Масса конуса m, радиус основания R.

* Вывести формулу для вычисления момента инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара m, радиус R.

Сплошной цилиндр массы m и радиуса R вращается вокруг своей оси в вязкой среде, сопротивление которой прямо пропорционально скорости вращения. Найти закон изменения угловой скорости вращения цилиндра от времени под действием только сил сопротивления. Начальная угловая скорость ω0. Через какой промежуток времени угловая скорость уменьшается в e раз (e – основание натуральных логарифмов)?

Однородный круглый диск диаметром d = 10 см и массой m = 1 кг вращается вокруг своей оси, делая ν = 100 об/мин. Постоянная сила трения, будучи приложена к ободу диска, останавливает его за время t = 1 мин. Найти величину этой силы.

На барабан массой M = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение груза и силу натяжения шнура. Барабан считать однородным цилиндром. Трением на оси цилиндра пренебречь.

Для определения момента инерции махового колеса радиуса R = 0,5 м относительно оси проходящей через центр масс, колесо обмотали тонкой проволокой, к которой привязали гирю массой m = 8 кг. Продолжительность опускания гири с высоты h = 2 м при разматывании проволоки составила t = 16 с. Найти момент инерции махового колеса, пренебрегая трением.

Сплошной цилиндр m = 1 кг насажен на ось. К оси цилиндра прикреплена невесомая нить, которая перекинута через блок. К концу нити привязан груз массы M = 2 кг (см. рис.). Считая, что цилиндр катится без проскальзывания, найти: а) ускорение груза, б) величину силы трения, действующей на цилиндр. При каком значении коэффициента трения не будет происходить проскальзывания?

* Конец веревки, намотанной на сплошной цилиндр, тянут с силой F. Радиус цилиндра R, масса m. При каком значении коэффициента трения скольжения m цилиндр не будет проскальзывать?

В условиях задачи 3.4 найти силу трения между катушкой и столом.

* На горизонтальной плоскости лежит катушка, масса которой m = 50 г, а момент инерции относительно ее оси I = 5·10-6 кг × м2. На катушку намотана невесомая и нерастяжимая нить. Радиус внешнего слоя витков r = 2 см, радиус торцов катушки R = 3 см (см. рисунок к задаче 3.4). Коэффициент трения скольжения между катушкой и плоскостью m = 0,2. Как ведет себя катушка, если сила F, с которой тянут за нить, и угол a имеют следующие значения: а) F = 0,128 Н и a = 30º; б) F = 0,1 Н и a = 48,2º; в) F = 0,1 Н и a = 30º и г) F = 0,1 Н и a = 60º.

Однородный сплошной цилиндр массы m = 1 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях. Цилиндр отпускают без толчка.

а) За какое время t цилиндр опустится на высоту h = 50 см? б) Какое натяжение T испытывает при опускании цилиндра каждая из нитей?

* Однородный стержень массы m горизонтально подвешен к потолку посредством двух вертикальных нитей, прикрепленных к концам стержня. Найти натяжение одной из нитей сразу же после обрыва другой.

* Гироскоп одного из авиагоризонтов характеризуется следующими данными: масса m = 5 кг; момент инерции относительно собственной оси Iz = 8·10-3 кг·м2; гироскоп вращается вокруг собственной оси с частотой n = 20000 об/мин. Определить период прецессии, вызванной тем, что центр тяжести гироскопа отстоит от точки опоры на расстояние l = 0,25 мм.

* Найти угловую скорость прецессии наклоненного волчка, прецессирующего под действием силы тяжести. Волчок имеет собственный момент инерции Iz, угловую скорость вращения w . Расстояние от точки опоры до центра тяжести волчка равно l.

* Доказать соотношение MО = MC + [R,P], где МО момент импульса системы материальных точек относительно начала О лабораторной системы отчета (Л-система); МC – момент импульса относительно центра масс С (собственный момент импульса), R – радиус-вектор центра масс в Л-системе, P – суммарный импульс системы точек, определенный в Л-системе.

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.