Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Основные формулы криволинейного движения
1. Скорость движения материальной точки
где (vec r) — радиус-вектор точки.
2. Ускорение материальной точки
где (a_< au>) — тангенциальное ускорение, (a_n) — нормальное ускорение.
3. Тангенциальное ускорение
4. Нормальное ускорение
где (R) — радиус кривизны траектории.
5. для равнопеременного движения
Выразив из второго равенства (t) и подставив в первое, получим полезную формулу
Примеры решения задач
В задачах о движении тела в поле силы тяжести будем полагать (a=g=9.8) м/с 2 .
Задача 1.
Снаряд вылетает из орудия с начальной скоростью 490 м/с под углом 30 0 к горизонту. Найти высоту, дальность и время полета снаряда, не учитывая его вращение и сопротивление воздуха.
Решение задачи
Свяжем ИСО с орудием.
Составляющие скорости по осям Ox и Oy в начальный момент времени равны:
(V_<0x>=V_0cosalpha) — остается неизменной во все время полета снаряда,
(V_<0y>=V_0sinalpha) — меняется согласно уравнению равнопеременного движения
В наивысшей точке подъема (V_y=V_0sinalpha-gt_1=0) , откуда
Полное время полета снаряда
Высоту подъема снаряда определим из формулы пути равно замедленного движения
Дальность полета определим как
Задача 2.
Из точки А свободно падает тело. Одновременно из точки В под углом (alpha) к горизонту бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в воздухе. Показать, что угол (alpha) не зависит от начальной скорости (V_0) тела, брошенного из точки В, и определить этот угол, если (frac=sqrt3) . Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение задачи.
Свяжем ИСО с точкой В.
Оба тела могут встретиться на линии ОА (см. рис.) в точке С. Разложим скорость (V_0) тела, брошенного из точки В, на горизонтальную и вертикальную составляющие:
Пусть от начала движения до момента встречи пройдет время
За это время тело из точки А опуститься на величину
а тело из точки В поднимется на высоту
Решая последние два уравнения совместно, находим
Подставляя сюда ранее найденное время, получим
т.е. угол бросания не зависит от начальной скорости.
Задача 3.
С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 40 м/с. Какова скорость тела через 3 с после начала движения? Какой угол образует с плоскостью горизонта вектор скорости тела в этот момент?
Решение задачи.
Дано: (V_0=40) м/с. (t=3) c.
Свяжем ИСО с башней.
Тело одновременно участвует в двух движениях: равномерно в горизонтальном направлении со скоростью (V_0) и в свободном падении со скоростью (V_y=gt) . Тогда полная скорость тела есть
Направление вектора скорости определяется углом (alpha) . Из рисунка видим, что
Задача 4.
Два тела брошены вертикально вверх из одной точки одно вслед за другим с интервалом времени, равным (Delta
Решение задачи.
Из анализа условия задачи, ясно, что первое тело поднимется на максимальную высоту и на спуске встретится со вторым телом. Запишем законы движения тел:
В момент встречи (h_1=h_2) , откуда сразу получаем
Ниже размещены условия задач и отсканированные решения. Если вам нужно решить задачу на эту тему, вы можете найти здесь похожее условие и решить свою по аналогии. Загрузка страницы может занять некоторое время в связи с большим количеством рисунков. Если Вам понадобится решение задач или онлайн помощь по физике- обращайтесь, будем рады помочь.
Принцип решения этих задач заключается в разложении скорости свободно падающего тела на две составляющие — горизонтальную и вертикальную. Горизонтальная составляющая скорости постоянна, вертикальное движение происходит с ускорением свободного падения g=9.8 м/с 2 . Также может применяться закон сохранения механической энергии, согласно которому сумма потенциальной и кинетической энерги тела в данном случае постоянна.
Материальная точка брошена под углом к горизонту с начальной скоростью 15 м/с. Начальная кинетическая энергия в 3 раза больше кинетической энергии точки в верхней точке траектории. На какую высоту поднималась точка?
Тело брошено под углом 40 градусов к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Найти расстояние, которое пролетит тело до падения, высоту подъема в верхней точке траектории и время в полете.
Тело брошено с башни высотой H вниз, под углом α к горизонту, с начальной скоростью v. Найти расстояние от башни до места падения тела.
Тело массой 0,5 кг брошено с поверхност Земли под углом 30 градусов к горизонту, с начальной скоростью 10 м/с. Найти потенциальную и кинетическую энергии тела через 0,4 с.
Материальная точка брошена вверх с поверхности Земли под углом к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Определить скорость точки на высоте 3 м.
Тело брошено вверх с поверхности Земли под углом 60 градусов с начальной скоростью 10 м/с. Найти расстояние до точки падения, скорость тела в точке падения и время в полете.
Тело брошено вверх под углом к горизонту с начальной скоростю 20 м/с. Расстояние до точки падения в 4 раза больше максимальной высоты подъема. Найти угол, под которым брошено тело.
Тело брошено с высоты 5 м под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 22 м/с. Найти дальность полета тела и время полета тела.
Тело брошено с поверхности Земли под углом к горизонту с начальной скоростью 30 м/с. Найти тангенциальное и нормальное ускорения тела через 1с после броска.
Тело брошено с поверхности Зесли под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 14,7 м/с. Найти тангенциальное и нормальное ускорения тела через 1,25с после броска.
Тело брошено под углом 60 градусов к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. Через какое время угол между скоростью и горизонтом станет равным 45 градусов?
Мяч, брошенный в спортзале под углом к горизонту, с начальной скоростью 20 м/с, в верхней точке траектории коснулся потолка на высоте 8м и упал на некотором расстоянии от места броска. Найти это расстояние и угол, под которым брошено тело.
Тело, брошеное с поверхности Земли под углом к горизонту, упало через 2,2с. Найти максимальную высоту подъема тела.
Камень брошен под углом 30 градусов к горизонту. На некоторой высоте камень побывал дважды — через время 1с и 3 с после броска. Найти эту высоту и начальную скорость камня.
Камень брошен под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Найти расстояние от точки бросания до камня через 4 с.
Снаряд выпущен в момент, когда самолет пролетает над орудием, под углом к горизонту с начальной скоростью 500 м/с. Снаряд поразил самолет на высоте 3,5 км через 10с после выстрела. Какова скорость самолета?
Ядро массой 5 кг брошено с поверхности Земли под углом 60 градусов к горизонту. На разгон гири потрачена энергия 500Дж. Определить дальность полета и время в полете.
Тело брошено с высоты 100м вниз под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 5 м/с. Найти дальность полета тела.
Тело массой 200г, брошеное с поверхности Земли под углом к горизонту, упало на расстоянии 5м через время 1,2с. Найти работу по броску тела.
1.Тело бросили с поверхности Земли под углом= 60к горизонту с начальной скоростью v0= 20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) скорость тела через t= 2 с после начала движения;
б) время t1, через которое скорость будет составлять с горизонтом угол= 30;
в) время полета тела Тдо падения на Землю;
г) максимальную высоту подъема Ни дальность полетаL;
д) уравнение траектории y(x), гдеxиy— координаты тела.
а) Выбираем систему отсчетаx0y,показанную на рисунке. По своему характеру данное движение есть движение с постоянным ускорениемПоэтому закон изменения скорости с течением времени имеет вид:
Найдем проекции вектора скорости на оси координат, спроектировав это уравнение на оси xиy:
Из связи между модулем вектора и его проекциями на декартовые оси получим:
б) Если - угол между вектором скорости и горизонтальной осью в некоторый момент времениt1, то:
в) Запишем закон движения тела в векторном виде, учтя, что в начальный момент тело находилось в начале координат.
(1)
Здесь — радиус-вектор тела в момент времениt.
Спроектируем это уравнение на ось y:
(2)
Найдем время полета тела Тиз условия, что в этот момент координатаy= 0:
Один из корней полученного уравнения Т1= 0 соответствует начальному положению тела, другой корень дает время полета тела:
г) Спроектируем уравнение (1) на ось x:
Найдем дальность полета тела Lиз условия L = x(T) :
(3)
Для того, чтобы определить максимальную высоту подъема Н, найдем время полета тела в наивысшую точку траектории из условия, что в этот момент времениТвектор скоростинаправлен горизонтально и, следовательно, проекция скорости на осьyvy= 0, т.е.
Заметим, что время подъема Т равно половине времени полетаТ. Следовательно, время подъема равно времени спуска.
д) Закон движения в координатной форме, определяемый соотношениями (2) и (3), по существу задает уравнение траектории через параметр t. Исключив этот параметр, получим уравнение траектории в явном виде:
(4)
Из (4) следует, что траектория тела, брошенного под углом к горизонту, представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (коэффициент при x 2 отрицателен). Парабола проходит через начало координат (один из корней уравненияy(x) = 0 равен нулю).
2.Самолет летит на высотеh= 500 м по горизонтальной прямой со скоростью v0= 100 м/с. Летчик должен сбросить бомбу в цель, лежащую впереди самолета. Под каким угломк вертикали он должен видеть цель в момент сбрасывания бомбы?
Решение.Движение бомбы можно рассматривать как наложение двух движений, одно из которых происходит по горизонтали с постоянной скоростью v0, а другое представляет собой свободное падение с нулевой начальной скоростью (см. рис.).
Искомый угол определяется очевидным соотношением:
где l— дальность полета по горизонтали. Эта величина равнаl= v0t, гдеt— время полета бомбы находится из условия
;
3.Под каким угломк горизонту следует бросить камень со скоростьюv0 = 20 м/с, чтобы он пролетел по горизонтали до падения на землю расстояние? Сопротивление воздуха пренебречь.
Решение.Запишем соотношение между дальностью полетаL, начальной скоростьюv0, угломи ускорением свободного паденияg(см.(3) задачи 1 этого раздела):
Здесь n– целые числа, значения которых найдем из очевидного условия:
Пусть n= 0. ТогдаПриn= 1
При других значениях nугол > 90. Итак, искомые углы равны:
4.Камень бросили горизонтально с большой высоты со скоростьюм/с. Определить черезс:
а) скорость камня и модуль приращения вектора его скорости;
б) модуль вектора перемещения камня.
Решение.а) В соответствии с выражением (1.12) скорость камня равна
,
где — ускорение свободного падения. Найдём построением скорость(см. рис.). Из полученного треугольника скоростей находим:
м/с.
По определению им/с.
б) Вектор перемещения равен
,
где , а, а его модуль
м.